论黎曼解析数论遗稿 西格尔 (1932)[中文]

论黎曼解析数论遗稿

卡尔・路德维希・西格尔（1932 年）

在 1859 年写给魏尔斯特拉斯的一封信中，黎曼提到了一种对

函数的新发展，但他尚未将其简化到足以包含在他发表的关于素数理论的论文中。如今，由于黎曼信中的这一点已被 H. 韦伯在其 1876 年版的黎曼著作中发表，人们可以推测，对位于哥廷根大学图书馆的黎曼遗稿进行详细审查，可能会揭示出解析数论中重要的隐藏公式。

事实上，图书馆员 Herr Distel 早在几十年前就在黎曼的论文中发现了所讨论的

函数的表示。它涉及一个渐近展开式，描述了函数 在临界线 上，更一般地，在每个带状区域 中，随着 的无限增大而表现出的行为。这个展开式的主要项后来被哈代和利特尔伍德在 1920 年独立于黎曼重新发现，作为他们 “近似函数方程” 的一个结果；他们使用了与黎曼相同的证明方法，即通过鞍点法对积分进行近似计算。然而，在黎曼那里还有一个获得渐近级数额外项的过程，这个过程基于积分

的优美性质，顺便提一下，这个积分也使得克罗内克和最近的莫德尔得出了高斯和互反公式的最优雅推导。 1926 年，贝塞尔 - 哈根在对黎曼论文的新审查中注意到了另一个以前未知的

函数的定积分表示；在这个表示中，黎曼也是基于 的性质。

这两个

的表示可以被视为黎曼数论遗稿中最重要的结果之一，因为它们并未出现在他的已发表论文中。关于所谓的 “黎曼猜想” 的证明，甚至关于 函数在临界线上存在无限多个零点的证明，并未包含在黎曼的论文中。关于在区间 内存在渐近 实零点的猜想，黎曼可能是基于对渐近级数的启发式考虑；但即使在今天，如何证明或反驳这一主张仍然不清楚。借助渐近级数，黎曼还计算了一些 的实零点，得到了更好的近似。

在黎曼关于

函数理论的笔记中，没有直接可发表的材料；有时在同一页面上会发现不连贯的公式；通常只写下一个等式的一边；甚至在关键点上也没有残差估计和收敛性研究。这些原因使得对黎曼片段进行自由改编成为必要，如下所述。

关于黎曼通过 “高度概括” 的想法而不是需要分析的形式工具来发现其数学工作结果的传说，可能不再像在克莱因生前那样普遍。黎曼的分析技术有多强，特别是通过他对

函数的渐近级数的推导和操作而变得特别清楚。

§ 1. 定积分的计算

设

为复变量。构造积分

从

到 ，沿着一条平行于第四和第二象限平分线的线，从右下到左上，穿过实轴在 和 之间的点。在公式 中，这个积分路径用积分号下方的符号 表示。

函数

是整函数。根据黎曼，它可以用指数函数以简单的方式表示。为了证明这一点，使用柯西定理得到 的两个差分方程：

一方面，我们有

所以

另一方面，当积分路径用符号

表示时，这是通过向量 的平行移动从先前使用的路径得到的，我们有

因为被积函数在极点 x = 0 处有留数

；所以因为

方程

得出公式

从

和 首先得到 时的著名方程

然后通过消去

得到所需结果

对

求 次导数，得到一般公式

为了方便起见，将

改写为另一种形式。将 代替 ，并将 乘以 ；这给出了黎曼发现的方程

这将继续发挥重要作用。

积分

是积分

的一个特例，对于这个积分，两个差分方程也足够了。对于

的每个负有理值，都有一个类似于 的公式；通过 u 的特化，可以得到高斯和的互反律。在他的讲座中，黎曼基于 的性质建立了 函数的变换理论。

§ 2. ζ 函数的渐近公式

如果复变量

的实部 大于 ，且 为自然数，则

或者当

要沿着负虚轴的正方向绕行时，

这个公式甚至对于任意值的

都成立。现在让 限制在一个固定区间 ，并且让 。为了通过鞍点法对 中出现的积分进行渐近计算，当 时，必须取通过 的零点的积分路径。从这个方程

得到零点的值

在以

为中心、半径为 的圆盘内，以下展开式成立

并且在级数

中有一个可能的

中积分的渐近展开式。如果 取特殊值 ，则级数中出现的积分现在都可以通过 §1 的公式 来计算。对于固定的 ，这是对 的一个条件，通常只能近似满足，因为 是一个整数。这就是为什么黎曼用邻近的值 替换了鞍点 ，这个值从方程

得到

然后根据

确定 为小于 的最大整数，所以

现在引入缩写

现在假设

不是整数。积分路径 将被由两条从点 发出的半直线组成的折线 替换，分别包含点 和 。关于极点 ，留数定理得出

在

的左侧两个直线元素中，我们称之为 ，现在

因此根据

和

对于

在 上一致。

在

的右半线上，设

那么我们有

即使

，这也成立，因此对于足够大的

所以我们有估计

并且这对于

在 上一致。从 和 得到

对于

右边积分的渐近展开，从恒等式开始

对于

，右边的最后一个因子可以展开为 的幂级数，其系数需要进一步研究。根据 中定义的 ，设

从微分方程

得到递推公式

对于

也成立，当设 时。如果加上方程 ，那么 由 确定；特别是， 是 的 次多项式，不包含 的幂，对于 。因此

对于

一致成立，但在 上稍微不一致。

为了估计幂级数

的尾部，使用表示

其中

是位于收敛圆内的曲线，正绕 和 各一次。由 我们有

因此在圆

内，我们有估计

在

中设 ，并让 是围绕 的半径为 的圆，目前仅受条件

的限制。那么从

、 、 一致地在 和 上得到估计

函数

关于 的最小值为 ，当 时。因此，如果

则选择

是允许的。因此，我们有

对于

，根据 ，选择 也是允许的；那么 得出关系

由

和 得出

为了确定如果在这个方程中将

替换为部分和 所产生的误差，必须检查积分

从现在开始，设

。如果将积分路径中位于圆盘 或 内的部分分别替换为相应的弧，则可以避免被积函数在极点 附近的邻域。如 中所示，对圆弧的积分仅对 贡献 。在积分路径的其余部分，有 。设

并考虑

对于 ，或者另一方面 对于 ；那么

一个简单的计算表明，对于

，第二项 超过了第一项。这给出了估计

在

和 上一致。 从 、 、 、 、 现在得出

在右边积分时，不是从

到 ，而是从 到 的整条线，那么，由于 [英译者注： ] 的值仅变化 ；另一方面，根据

所以

最后，将积分变量

替换为 ，使得

根据 §1 的结果，积分

的值为

为了也以初等方式表达

中出现的右侧积分，对于 ，黎曼从 形成方程

从中通过展开

的幂级数，得到公式

现在，从

、 、 得出展开式

其中

并且其中系数

由递推公式 确定。这个展开是渐近的，并且特别是对于 是一致的，因为 中的余项确实对于每个固定的 ，是关于 的 阶，在 上一致。从分析中已知的渐近级数来看， 本身与出现整数 的不同之处在于，这使得展开的各个项依赖于 的不连续性。在证明中所做的假设 不是整数，可以很容易地随后消除，因为可以在 中在 的任何整数值处进行右边界跨越。

如果我们在

中选择特殊值 ，误差项是 ，因此随着 t 的增加呈指数级趋于 。对于实际目的，由于小指数因子 ，这个误差项的估计并不有用；更精细的估计表明 可以被一个相当大的数字替代。找到误差作为 的函数的确切增长顺序将是有趣的；但这并不简单，因为它对于固定的 并不随着 的增加而趋于 。

由于

的情况特别重要，因此将 乘以由

定义的函数

是适宜的，其中我们指的是 在从 到 和从 到 的平面切割中唯一确定的那些值，这些值在 时为零。那么，在临界线 上， ，并且 是实数。根据 ，对于

其中

由 定义。包含在 中的每个有限和中的 是 的多项式。因此，根据 ，对于每个固定的 和 ，通过按 的幂重新排序，我们有关系

其中系数

是有限数量的导数 的齐次线性组合。使用 和 的递推公式显式计算 相当繁琐；黎曼通过以下技巧简化了这一点。代入

然后

是一个完整的渐近级数，并且所需的量

是 的系数，该系数通过按 的幂排序级数而产生。右边 的和只不过是通过形式上乘以收敛的幂级数

与发散的幂级数

由于固定的幂

仅出现在有限数量的系数 中，因此以下计算 的方法是合法的：通过形式上乘以 和 构造项

由此，通过按

的幂次排序，得到级数 ；此时 即为 中的常数项。在计算该常数项时， 中出现的 的负幂次无关紧要，因此只需确定 的多项式部分。

为简洁起见，设

则根据

式有

其中

，因此幂级数 形式上满足微分方程

由此可得关于级数

的微分方程

若现在按

的幂次排序，

则由

式可得

以及递推公式

若设

则有

利用这些递推公式计算

后，即可显式给出 ，即

从而得到

其中

取值 取值 。

当

时，递推公式 最为简便。对于这一特殊情况，容易得到

其中省略的项仅包含

的负幂次。因此，对于 有

从而在

的情况下， 被确定到 量级的误差。

若借助斯特林级数对右侧第二项中的

进行渐近展开，渐近展开式 可进一步简化。为此，黎曼考虑了以下公式

该式通过对

的已知伯努利积分表示进行简单变换得到。由于恒等式

通过分离实部和虚部可得

其中由于在

处存在极点，积分应理解为柯西主值。若设

则有

，且一般有

由此以众所周知的方式得到渐近级数

当

时，有 ，因此

结合

式，我们最终得到 时 的渐近级数的确定形式：

其中

这本质上与黎曼的结论一致，唯一的新贡献是余项估计。

现在可以放宽

的条件和 仅限于区间 的限制，仍然可以使用渐近展开式 ；此时只需将 理解为复数 ， 理解为整数 ，而 的定义仍由 给出。证明这一论断所需的扩展可以从 的推导中轻松获得。

渐近级数

是 的齐次线性组合；通过重新排列，可以得到形如

的表达式，其中每个

都是 的幂级数。这些幂级数是发散的；这引发了一个问题：它们是否是某些解析函数 的渐近展开式？以及级数

是否也是

的渐近展开式？黎曼也曾研究过这个问题；但同样没有必要的余项估计。由于级数 因具有更大的余项而不具备原始渐近展开式的理论和实际重要性，在下文中将省略对其误差的繁琐研究；或许这种 [表述？] 更能体现黎曼的形式幂级数的特点。

公式

（也可写成

的形式）允许进行逆变换

当

时成立。这可以通过应用傅里叶定理或对 中的变量取复共轭得到。由 可得

该式对

也成立。可直接将 替换为级数

并利用

中的积分

计算该级数中单个成员的贡献。

通过这种方式，我们得到渐近展开式

另一方面，根据

和 有

由于可以容易看出，如

中给出的 作为 的齐次线性函数（具常系数）的表示方式是唯一的，因此由 和 可得方程

特别地，若设

则有

对于其余的

，可以通过 的部分积分推导出递推关系；但也可以不经过额外计算，以下述方式获得。根据 、 、 有

其中根据

和 ， 满足递推关系

由于

因此对于

有递推公式

其中

。由此利用 可得

根据

式，可以得到 本身的渐近展开式；具体而言

将此代入上述

的结果中，可得

从递推关系

可知， 的渐近级数中出现的所有幂指数均满足 。因此， 中出现的 的所有导数的阶数均为 的形式，这一点在 的表达式中易于验证。若设

其中求和指标

取值 ，求和指标 取值 ，则所有 的值均可确定；根据 ， 的值已知；可以立即看出， 和 中共同出现的 的值是一致的。

为了数值计算

以及渐近级数的实际应用，按 的递增幂次排序更为可取。通过 确定 实际上比之前处理的 的确定更为繁琐；此外，连续的 并不具有单调递减的幅度，但 确实具有精确的阶数 ，因此例如只需将 到 计算到之前的误差 即可。

通过公式

过渡到 。如果试图从 获得 的精确表达式而非仅仅一个渐近级数，那么将会引出下一节将要讨论的方法。