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论黎曼解析数论遗稿 西格尔 (1932)[中文]

论黎曼解析数论遗稿

卡尔・路德维希・西格尔(1932 年)

在 1859 年写给魏尔斯特拉斯的一封信中,黎曼提到了一种对

函数的新发展,但他尚未将其简化到足以包含在他发表的关于素数理论的论文中。如今,由于黎曼信中的这一点已被 H. 韦伯在其 1876 年版的黎曼著作中发表,人们可以推测,对位于哥廷根大学图书馆的黎曼遗稿进行详细审查,可能会揭示出解析数论中重要的隐藏公式。

事实上,图书馆员 Herr Distel 早在几十年前就在黎曼的论文中发现了所讨论的

函数的表示。它涉及一个渐近展开式,描述了函数
在临界线
上,更一般地,在每个带状区域
中,随着
的无限增大而表现出的行为。这个展开式的主要项后来被哈代和利特尔伍德在 1920 年独立于黎曼重新发现,作为他们 “近似函数方程” 的一个结果;他们使用了与黎曼相同的证明方法,即通过鞍点法对积分进行近似计算。然而,在黎曼那里还有一个获得渐近级数额外项的过程,这个过程基于积分

的优美性质,顺便提一下,这个积分也使得克罗内克和最近的莫德尔得出了高斯和互反公式的最优雅推导。 1926 年,贝塞尔 - 哈根在对黎曼论文的新审查中注意到了另一个以前未知的

函数的定积分表示;在这个表示中,黎曼也是基于
的性质。

这两个

的表示可以被视为黎曼数论遗稿中最重要的结果之一,因为它们并未出现在他的已发表论文中。关于所谓的 “黎曼猜想” 的证明,甚至关于
函数在临界线上存在无限多个零点的证明,并未包含在黎曼的论文中。关于在区间
内存在渐近
实零点的猜想,黎曼可能是基于对渐近级数的启发式考虑;但即使在今天,如何证明或反驳这一主张仍然不清楚。借助渐近级数,黎曼还计算了一些
的实零点,得到了更好的近似。

在黎曼关于

函数理论的笔记中,没有直接可发表的材料;有时在同一页面上会发现不连贯的公式;通常只写下一个等式的一边;甚至在关键点上也没有残差估计和收敛性研究。这些原因使得对黎曼片段进行自由改编成为必要,如下所述。

关于黎曼通过 “高度概括” 的想法而不是需要分析的形式工具来发现其数学工作结果的传说,可能不再像在克莱因生前那样普遍。黎曼的分析技术有多强,特别是通过他对

函数的渐近级数的推导和操作而变得特别清楚。

§ 1. 定积分的计算

为复变量。构造积分

,沿着一条平行于第四和第二象限平分线的线,从右下到左上,穿过实轴在
之间的点。在公式
中,这个积分路径用积分号下方的符号
表示。

函数

是整函数。根据黎曼,它可以用指数函数以简单的方式表示。为了证明这一点,使用柯西定理得到
的两个差分方程:

一方面,我们有

所以

另一方面,当积分路径用符号

表示时,这是通过向量
的平行移动从先前使用的路径得到的,我们有

因为被积函数在极点 x = 0 处有留数

;所以因为

方程

得出公式

首先得到
时的著名方程

然后通过消去

得到所需结果

次导数,得到一般公式

为了方便起见,将

改写为另一种形式。将
代替
,并将
乘以
;这给出了黎曼发现的方程

这将继续发挥重要作用。

积分

是积分

的一个特例,对于这个积分,两个差分方程也足够了。对于

的每个负有理值,都有一个类似于
的公式;通过 u 的特化,可以得到高斯和的互反律。在他的讲座中,黎曼基于
的性质建立了
函数的变换理论。

§ 2. ζ 函数的渐近公式

如果复变量

的实部
大于
,且
为自然数,则

或者当

要沿着负虚轴的正方向绕行时,

这个公式甚至对于任意值的

都成立。现在让
限制在一个固定区间
,并且让
。为了通过鞍点法对
中出现的积分进行渐近计算,当
时,必须取通过
的零点的积分路径。从这个方程

得到零点的值

在以

为中心、半径为
的圆盘内,以下展开式成立

并且在级数

中有一个可能的

中积分的渐近展开式。如果
取特殊值
,则级数中出现的积分现在都可以通过 §1 的公式
来计算。对于固定的
,这是对
的一个条件,通常只能近似满足,因为
是一个整数。这就是为什么黎曼用邻近的值
替换了鞍点
,这个值从方程

得到

然后根据

确定
为小于
的最大整数,所以

现在引入缩写

现在假设

不是整数。积分路径
将被由两条从点
发出的半直线组成的折线
替换,分别包含点
。关于极点
,留数定理得出

的左侧两个直线元素中,我们称之为
,现在

因此根据

对于

上一致。

的右半线上,设

那么我们有

即使

,这也成立,因此对于足够大的

所以我们有估计

并且这对于

上一致。从
得到

对于

右边积分的渐近展开,从恒等式开始

对于

,右边的最后一个因子可以展开为
的幂级数,其系数需要进一步研究。根据
中定义的
,设

从微分方程

得到递推公式

对于

也成立,当设
时。如果加上方程
,那么
确定;特别是,
次多项式,不包含
的幂,对于
。因此

对于

一致成立,但在
上稍微不一致。

为了估计幂级数

的尾部,使用表示

其中

是位于收敛圆内的曲线,正绕
各一次。由
我们有

因此在圆

内,我们有估计

中设
,并让
是围绕
的半径为
的圆,目前仅受条件

的限制。那么从

一致地在
上得到估计

函数

关于
的最小值为
,当
时。因此,如果

则选择

是允许的。因此,我们有

对于

,根据
,选择
也是允许的;那么
得出关系

得出

为了确定如果在这个方程中将

替换为部分和
所产生的误差,必须检查积分

从现在开始,设

。如果将积分路径中位于圆盘
内的部分分别替换为相应的弧,则可以避免被积函数在极点
附近的邻域。如
中所示,对圆弧的积分仅对
贡献
。在积分路径的其余部分,有
。设

并考虑

对于
,或者另一方面
对于
;那么

一个简单的计算表明,对于

,第二项
超过了第一项。这给出了估计

上一致。 从
现在得出

在右边积分时,不是从

,而是从
的整条线,那么,由于
[英译者注:
] 的值仅变化
;另一方面,根据

所以

最后,将积分变量

替换为
,使得

根据 §1 的结果,积分

的值为

为了也以初等方式表达

中出现的右侧积分,对于
,黎曼从
形成方程

从中通过展开

的幂级数,得到公式

现在,从

得出展开式

其中

并且其中系数

由递推公式
确定。这个展开是渐近的,并且特别是对于
是一致的,因为
中的余项确实对于每个固定的
,是关于
阶,在
上一致。从分析中已知的渐近级数来看,
本身与出现整数
的不同之处在于,这使得展开的各个项依赖于
的不连续性。在证明中所做的假设
不是整数,可以很容易地随后消除,因为可以在
中在
的任何整数值处进行右边界跨越。

如果我们在

中选择特殊值
,误差项是
,因此随着 t 的增加呈指数级趋于
。对于实际目的,由于小指数因子
,这个误差项的估计并不有用;更精细的估计表明
可以被一个相当大的数字替代。找到误差作为
的函数的确切增长顺序将是有趣的;但这并不简单,因为它对于固定的
并不随着
的增加而趋于

由于

的情况特别重要,因此将
乘以由

定义的函数

是适宜的,其中我们指的是
在从
和从
的平面切割中唯一确定的那些值,这些值在
时为零。那么,在临界线
上,
,并且
是实数。根据
,对于

其中

定义。包含在
中的每个有限和中的
的多项式。因此,根据
,对于每个固定的
,通过按
的幂重新排序,我们有关系

其中系数

是有限数量的导数
的齐次线性组合。使用
的递推公式显式计算
相当繁琐;黎曼通过以下技巧简化了这一点。代入

然后

是一个完整的渐近级数,并且所需的量

的系数,该系数通过按
的幂排序级数而产生。右边
的和只不过是通过形式上乘以收敛的幂级数

与发散的幂级数

由于固定的幂

仅出现在有限数量的系数
中,因此以下计算
的方法是合法的:通过形式上乘以
构造项

由此,通过按

的幂次排序,得到级数
;此时
即为
中的常数项。在计算该常数项时,
中出现的
的负幂次无关紧要,因此只需确定
的多项式部分。

为简洁起见,设

则根据

式有

其中

,因此幂级数
形式上满足微分方程

由此可得关于级数

的微分方程

若现在按

的幂次排序,

则由

式可得

以及递推公式

若设

则有

利用这些递推公式计算

后,即可显式给出
,即

从而得到

其中

取值
取值

时,递推公式
最为简便。对于这一特殊情况,容易得到

其中省略的项仅包含

的负幂次。因此,对于

从而在

的情况下,
被确定到
量级的误差。

若借助斯特林级数对右侧第二项中的

进行渐近展开,渐近展开式
可进一步简化。为此,黎曼考虑了以下公式

该式通过对

的已知伯努利积分表示进行简单变换得到。由于恒等式

通过分离实部和虚部可得

其中由于在

处存在极点,积分应理解为柯西主值。若设

则有

,且一般有

由此以众所周知的方式得到渐近级数

时,有
,因此

结合

式,我们最终得到
的渐近级数的确定形式:

其中

这本质上与黎曼的结论一致,唯一的新贡献是余项估计。

现在可以放宽

的条件和
仅限于区间
的限制,仍然可以使用渐近展开式
;此时只需将
理解为复数
理解为整数
,而
的定义仍由
给出。证明这一论断所需的扩展可以从
的推导中轻松获得。

渐近级数

的齐次线性组合;通过重新排列,可以得到形如

的表达式,其中每个

都是
的幂级数。这些幂级数是发散的;这引发了一个问题:它们是否是某些解析函数
的渐近展开式?以及级数

是否也是

的渐近展开式?黎曼也曾研究过这个问题;但同样没有必要的余项估计。由于级数
因具有更大的余项而不具备原始渐近展开式的理论和实际重要性,在下文中将省略对其误差的繁琐研究;或许这种 [表述?] 更能体现黎曼的形式幂级数的特点。

公式

(也可写成

的形式)允许进行逆变换

时成立。这可以通过应用傅里叶定理或对
中的变量取复共轭得到。由
可得

该式对

也成立。可直接将
替换为级数

并利用

中的积分

计算该级数中单个成员的贡献。

通过这种方式,我们得到渐近展开式

另一方面,根据

由于可以容易看出,如

中给出的
作为
的齐次线性函数(具常系数)的表示方式是唯一的,因此由
可得方程

特别地,若设

则有

对于其余的

,可以通过
的部分积分推导出递推关系;但也可以不经过额外计算,以下述方式获得。根据

其中根据

满足递推关系

由于

因此对于

有递推公式

其中

。由此利用
可得

根据

式,可以得到
本身的渐近展开式;具体而言

将此代入上述

的结果中,可得

从递推关系

可知,
的渐近级数中出现的所有幂指数均满足
。因此,
中出现的
的所有导数的阶数均为
的形式,这一点在
的表达式中易于验证。若设

其中求和指标

取值
,求和指标
取值
,则所有
的值均可确定;根据
的值已知;可以立即看出,
中共同出现的
的值是一致的。

为了数值计算

以及渐近级数的实际应用,按
的递增幂次排序更为可取。通过
确定
实际上比之前处理的
的确定更为繁琐;此外,连续的
并不具有单调递减的幅度,但
确实具有精确的阶数
,因此例如只需将
计算到之前的误差
即可。

通过公式

过渡到
。如果试图从
获得
的精确表达式而非仅仅一个渐近级数,那么将会引出下一节将要讨论的方法。

§ 3. ζ 函数的积分表示

基于第 1 节公式

函数渐近级数系数的显式确定,黎曼还推导出了一个相当有趣的
函数表达式 —— 该表达式直到 1926 年才被其他数学家注意到。

现设

,并令
在从
的割线上取主值。将公式
乘以
并从
沿第一象限平分线积分。现设缩写
,则有

以及

因此根据公式

此处第二个积分可表示为

其中符号

表示通过实轴反射得到的第一条积分路径。将
乘以因子

并考虑关系式

可得在整个

平面上成立的公式

黎曼并未将所有内容都写成这种对称形式;但这里选择的版本似乎更便于应用。现已使

的函数方程显现出来;因为当
时,右侧两项互为复共轭,因此
在此处为实数,且由于该函数在
时为实数,根据对称性原理,函数方程

适用于

,从而普遍适用于任意

若进一步设

则根据

由此将

在临界线上的研究简化为对
实部的研究。

§ 4. 两个黎曼公式对 ζ 函数理论的意义

基于方程

渐近级数的主要项是表达式

该式也曾由哈代和利特尔伍德发现,但他们仅给出了其绝对值的上界,而非黎曼对

的展开式。他们还发现了一个更一般的主要项形式,即

其中

。该式此前并未由黎曼给出;但可以想象,沿着黎曼的思路,不难得到表达式
的完整渐近展开式 —— 该展开式对于由
定义的函数
所起的作用,与黎曼的特殊函数
相同。

对于哈代和利特尔伍德所应用的估计

在区间
内零点个数
的应用(黎曼公式对此给出了更精确的值),似乎并非更好的结果。然而在上述文献中,黎曼声称
渐近等于
,因而渐近等于
在带状区域
内所有零点
的个数,并声称可借助他的新展开式证明这一点;但从其遗稿中尚不清楚他是否已设计出该证明。在
时成立的表示式

其中

右侧三角级数的第一项(即

)在区间
内实际上渐近具有
个零点;且系数
单调递减。或许黎曼认为这一观察可用于其断言的证明。

显然可以利用精确的黎曼公式来估计平均值

这些平均值是众所周知的,并与所谓的林德勒夫猜想密切相关。但在此会遇到来自自然数分解的显著算术困难。

对于

函数的数值表编制(尤其是进一步计算零点),渐近展开式具有重要价值。然而若要将其用于实际应用,则需要比第 2 节中推导的更精细的余项估计。黎曼曾运用其公式进行了大量计算以确定
的正零点。对于最小正零点,他得到的值为
;格拉姆计算的值为
,相差不足千分之三。利用
的乘积表示也可得到
的下界,从而得出易证的等式

其中

为欧拉常数,且
遍历所有位于右半平面的
的解。由此黎曼断言

对于

,他得到的值为
;而格拉姆给出的值为

第二个黎曼公式(即

的积分表示)或许对理论更具意义。人们将尝试从
中获得关于
在临界线上零点分布的信息。设
在区间
内增加。在此过程中,
增加
,其中当经过位于
可能零点时,变化量等于该零点重数乘以
,因此根据
内的零点个数大于
。但现在我们有

因此根据

在区间
内的零点个数渐近至少等于
,即渐近等于 ζ(s) 在带状区域
内的零点个数 —— 若函数
(由
定义)的幅角随
减小得比
慢。对于每个半带状区域
,可通过第 2 节的方法将
展开为渐近级数;但再次得到的主要项是
个求和项的和,即
;而研究该求和项幅角的问题与研究
中出现求和项零点的问题难度完全相同,因此引入
似乎并未带来任何收益。

若现考虑边为

的矩形(其上边不含
的零点),则
在矩形正方向环流时的变化量等于矩形内
的零点个数。在下边
变化量为
,在右边(遵循渐近级数)也仅为
。此外,通过
函数理论中的常规方法可证明,上边的变化量至多为
。因此,除
量级的误差外,
在区间
内的变化量等于
乘以矩形内
的零点个数。由此问题简化为研究整超越函数
的零点。

黎曼试图获得关于

零点的陈述,为此他从
形成关系式

并通过引入新变量、变形积分区域及应用留数定理,将该复二重积分转化为不同形式;但未得到有用结果。

迄今为止关于

零点位置知之甚少。黎曼未对此作进一步评论;因此在本文的历史数学论述中,关于
理论的以下评论必须简短。它们提供了不等式

的证明。对于

,可通过第 2 节的方法获得渐近级数;就目前目的而言,仅需考虑该级数的主要项。首先将证明:在
的区域中,适用以下公式

其中缩写

被使用。

现根据

函数

的鞍点位于
。设

对于每个自然数

,根据柯西定理有

现很想完全按照第 2 节的方法进行,因此会选择

;但这样仅在较小矩形区域
内直接得到
,而扩展到附加区域
需要消除某些附加项。这就是为何我们最初让 k 任意选取。

右侧第一个积分可根据黎曼第 1 节的方法计算;得到

在第二个积分中,我们将积分路径引导通过鞍点

,并平行于第二和第四象限平分线行进。因此它会在实轴上的点
处穿过。然而为避免接近极点
的邻域,仍可用这些圆上的弧段替换积分路径位于圆
内的部分。若假设

则有

对于

需要两个估计。第一个针对圆
;具体为

因此

第二个针对积分路径位于该圆外的部分。若设

,则在积分路径上
,且在
时,在圆
外适用不等式

因此

其中

。但此时

此外,在积分路径上

因此

由此可得

并与

联立得

现需证明:对于

且在区域
内,通过适当选择
,项

的阶数高于大括号内其他项。首先,

因此

同时

对于子区域

,不等式

成立,且右侧随

趋于无穷大。因此在
的基础上可知:当
时,
式大括号内的表达式在上述子区域内取值为

在子区域

(待处理)中,现取

则对于充分大的

因此根据

此外,对于

因此对于充分大的

位于圆
内,且
式适用于
;由于
可得

最后,对于

且对于充分大的

因此根据

综合不等式

可知估计

表明:即使在区域
内,
式大括号内的值仍由表达式
给出。

因此通过应用斯特林公式,

式的断言得证。

顺带指出,

式甚至可在更大区域
(其中
为任意固定正数)内得到证明;但对于以下目的,每个
值小于
(即
)即可。

除了公式

之外,还需要获得
在固定
时的阶数粗略估计。这可以从第 2 节中
的渐近展开式方法获得;出于当前目的,仅需考虑该展开式的主要项。首先将证明:在区域
内,适用以下公式

其中

在象限平面
内有效。通过类似第 2 节的方法可获得渐近展开式的其他项,但对于当前目的并不需要。

通过比较

可得:对于象限平面
的渐近展开式;该推导可能比第 2 节的方法在必要估计方面稍简单,但级数中的各个项最初以更复杂的形式出现。

根据

可得

根据

可得

为方便起见,引入函数

根据

可得:对于

现在应能够估计

在每条半线
上的平均值,具体为表达式

但通过

可以更优雅地实现这一目标:具体而言,对于

此处可通过变形积分路径、交换积分顺序以及应用留数定理来转换右侧。计算可得以下结论:

该结论在

时成立,并由此进一步可得

因此对于每个固定的

但根据斯特林公式还可得到以下结论:

由此可得所需公式

对于固定的

。由此进一步可得

对于

,可得
的下界。实际上,根据
,在临界线上

因此根据

最后,对于

,根据

现在,设

,且直线
上函数
无零点。此外,设
。考虑边为
的矩形。在左边
上,对于足够大的
,根据
没有
的零点。通过平行于实轴的切割将矩形内
的零点与右边
连接起来。在切割后的矩形内,
是单值的(明确的);通过要求固定
,它成为该函数的一个分支。众所周知,此时适用

其中

遍历位于矩形内的所有根的实部。第一个积分可以在
时向上准确估计,在
时向下估计,在
时估计。第三和第四积分的贡献,如通过
不难看出,仅为
阶。最后,第二个积分可以通过使用
以通常方式估计为
。因此,根据

根据

以及根据

在最后一个等式中,

遍历位于条带内的所有零点的实部。如果这些零点的数量记为
,则根据 (94) 有

在上半平面,

的零点与
的零点一致。在假设位于上方
个零点中,最多有
个零点的前提下,
在区间
内的变化等于
,因此无法获得关于
零点的陈述。然而,首先根据
可知

因此肯定存在无限多个位于左侧的零点;并且这可以从

中独立于
得出,通过减去位于区域
内零点数量的下界。我们将这个数量记为
,因此对于每个

这个估计在

时最为有利,并得出
。目前 已知,通过采用类似于
的形式,用
代替

其中

遍历位于条带内且位于临界线右侧的函数零点的实部。因此可得

在临界线右侧,的零点数量最多为

,因此在区间内的减少量最多为
。因此,在该区间内的增加量至少为
,其中
为任意增长慢于
的正函数。因此,
在该区间内的增加量至少为
,根据
,该值至少等于
。因此,
在区间
内的零点数
满足不等式

因此,位于临界线上的

零点的密度,即
的比值下限,对于
是正的,并且至少等于
,因此大于
。除了这个数值之外,该结论并非新结果,但已在 1920 年由哈代和利特尔伍德以更简单的方式证明。尽管如此,这一小结果可能对这里讨论的
性质具有一定的独立价值。

关于公式

可以作进一步说明。黎曼猜想的错误程度,在某种意义上,可以通过总和
来衡量。尽管通过利特尔伍德已知该总和不超过
,但目前尚无更好的估计。如果黎曼猜想是错误的,这个总和可能会比
增长得更快;然而,根据
,在这种情况下
的增长速度将超过
,因此黎曼猜想不可能 “过于错误”。设
为任意正函数,其增长速度比
慢,则根据
仍然可得:在狭窄区域
内,至少存在
的零点。这是一个新的结果,即使对于
增长速度比
慢的情况也成立。例如,在区域
内,存在超过
个零点。

关于是否可以改进

中给出的
下界的问题仍然悬而未决。为了证明黎曼关于
渐近等于
的断言,只需证明关于
的相应结论。这似乎难以通过之前使用的
函数分析方法实现,除非有本质上新的思路;尤其是任何试图证明黎曼猜想的尝试。

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